2009年7月21日 星期二

失蹤的正方形

失蹤的正方形謎題是一種用於數學課的視錯覺,有助於學生對幾何圖形的思考。它描述兩種面積板塊形狀組合,每個顯然的都構成一個13X5直角三角形,不過其中一個裡頭有個1x1的孔。

這謎題的關鍵是實際上兩個13x5的多邊形並不是三角形,目測不容易察覺到紅色和藍色三角形斜邊的斜率有差別。 因此誤以為兩個組合成的圖形都是三角形。


四個圖形(黃色、紅色、藍色和綠色圖形)總共佔32個單位面積,但是外面總三角形是寬13高5,合計32.5單位。藍色三角形長寬比為5:2,紅色三角則是8:3,並且這些不是同一個長寬比。因此在每個圖中外觀上加成後的斜邊實際上縮短了。

總共縮短的長度大約是一單位的28分之一,這在此謎題示例圖上很難以看出。注意在藍色紅色斜邊交界處的網格點,如果將它與另一張圖的對應交界點比 較,邊緣稍稍溢出或者低於格點。來自兩張圖重疊後溢出的斜邊導致一個非常細微的平行四邊形,佔據了剛好一格大小的面積,恰洽是第二張圖「消失」的區域。

根據美國業餘數學大師馬丁·加德納指出,本謎題是在1953年是由紐約市業餘魔術師保羅·嘉理(Paul Curry)發明的。不過裁切悖論的原理自從1860年代就已為數學家所知了。

謎題裡描述組成圖形的整數域(2, 3, 5, 8, 13)是連續的斐波那契數。 許多其他幾何裁切謎題皆根據著名斐波那契數列的許多簡單的特質。

消失的小正方形謎題

本謎題另類且較簡單的版本(在動畫裡顯示)使用四個相等的四邊形以及一個小正方形,則組成一個較大的正方形。當四邊形繞著其中心旋轉,中間的小正方形將被填滿,即使該圖的總面積看起來沒有變動。這外表上的悖論可由新形成的方形四邊較原來的小了一點。如果 a 代表大正方形的四邊和,且 θ 是每個四邊形相對邊間的夾角,那兩個旋轉前旋轉後方塊面積間相除的商結果是 sec2θ − 1。對於 θ = 5°,結果大約是 1.00765,故對應的差異大約 0.8%。

森姆·萊特的悖論裁切

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