亨佩爾的烏鴉

烏鴉悖論，也叫做亨佩爾的烏鴉或亨佩爾悖論，是二十世紀四十年代德國邏輯學家卡爾·古斯塔夫·亨佩爾（Carl Gustav Hempel）為了說明歸納法違反直覺而提出的一個悖論。

幾千年以來，無數人觀察了許多事務，比如地心引力法則，人們趨於相信其極可能是真理。這種類型的推理可以總結成「歸納法原理」：

如果實例 X 被觀察到和論斷 T 相符合，那麼論斷 T 正確的機率增加。

亨佩爾給出了歸納法原理的一個例子： 「所有烏鴉都是黑色的」論斷。我們可以出去觀察成千上萬隻烏鴉，然後發現他們都是黑的。在每一次觀察之後，我們對「所有烏鴉都是黑的」的信任度會逐漸提高。歸納法原理在這裏看起來合理的。

現在問題出現了。「所有烏鴉都是黑的」 的論斷在邏輯上和「所有不是黑的東西不是烏鴉」等價。如果我們觀察到一隻紅蘋果，它不是黑的，也不是烏鴉，那麼這次觀察必會增加我們對「所有不是黑的東西不是烏鴉」的信任度，因此更加確信「所有的烏鴉都是黑的」！

解決它和直覺的衝突，哲學家們提出了一些方法。美國邏輯學家納爾遜·古德曼（en:Nelson Goodman）建議對我們的推理添加一些限制，比如永遠不要考慮支持論斷「所有P滿足Q」且同時也支持「沒有P滿足Q」 的實例。

其他一些哲學家質疑「等價原理」。也許紅蘋果能夠增加我們對論斷「所有不是黑的東西不是烏鴉」的信任度，而不增加我們對 「所有烏鴉都是黑色的」信任。這個提議受到質疑，因為你不能對等價的兩個命題有不同的信任度，如果你知道他們都是真的或都是假的。

古德曼，以及其後的威拉德·馮·奧曼·蒯因，使用術語「projectible predicate」來描述這些類似於「烏鴉」和「黑色」的命題，所有這類命題是支持歸納推理法的；而「非projectible predicate」則為與只相反的後者，如「非黑」和「非烏鴉」這些命題並不支持歸納推理法。蒯因還提出一個需要證實的猜想：如果任何命題是projectible的；在無限物件組成的全集中，一個projectible的命題的補集永遠是非projectible的。

這樣一來，雖然「所有烏鴉都是黑的」和「所有不是黑的東西都不是烏鴉」這兩個命題所擁有的信任度必須相等，但只有「黑色的烏鴉」才能同時增加兩者的信任度，而「非黑色的非烏鴉」並不增加任何一個命題的信任度。

還有些哲學家認為其實這個命題是完全正確的，出錯的是我們自己的邏輯。其實觀察到一個紅色的蘋果確實會增加烏鴉都是黑色的可能性！這就相當於：如果有人把宇宙中所有不是黑的物體都給你看，而你發現所有的物體都不是烏鴉，那你就完全可以斷定所有烏鴉都是黑的了。這個「悖論」看上去荒謬只是因為宇宙中「不是黑的」物體遠遠多於「烏鴉」，所以發現一個「不是黑的」物體只增加了極其微小的對於「烏鴉都是黑的」的信任度，而相對而言，每發現一隻黑的烏鴉就是一個有力的證據了。