老虎悖論

故事

國王要處決一個囚犯，但給他一個生還的機會。囚犯被帶到5扇緊閉的門前，其中一扇後面關著一隻老虎。國王對囚犯說：「你必須依次打開這些門。我可以肯定的是，在你沒有打開關著老虎的那扇門之前，你是無法知道老虎是在那扇門後。」顯然，如果囚犯有可能在打開有老虎的那扇門前知道，就證明國王在撒謊，那麼就可以活命。 開門之前，囚犯進行了如下分析：假如老虎在第五扇門，那當他把前四扇門打開後都沒發現老虎，那他肯定猜到老虎在第五扇門中，因國王說過不論何時他也料不到老虎在哪扇門後，那國王的說話就錯了。因此，老虎肯定不在第五扇門中。同樣道理，老虎也不在第四道門中，否則囚犯打開三道門後，只剩兩道門，老虎既不在第五扇門後，那就會給他料到在第四扇門後；依次類推，老虎不存在任何一道門後；囚犯這時就不再多想，冒冒失失依次推門，結果老虎從第二扇門中跳了出來，把囚犯咬死了。國王看見了說：「不是跟你說了老虎在哪扇門後總是出乎你的意料了嗎？現在你就是萬料不到了。」

悖論分析

如果囚犯的推理成立，那麼就算國王把老虎放在第五扇門後，也是「料想不到」，學者們爭論的重點在於：這個推理究竟錯在第幾步？

主張錯在第一步

* 如果第一步是正確的，那麼後面幾步為什麼是錯的？所以第一步就錯了。錯在囚犯把國王的思路作為論據。
* 首先必須定義怎樣算國王所謂的「知道」(或「意料」)，如果投機猜測算的話，那國王不論怎樣放都不能保證不被猜中，所以帶投機成分的猜測不能算「知道」（國王為了自身利益也會這麼定義），設「知道」定義為「在即有事實下的邏輯推理」，那麼囚犯不僅要正確預測老虎，還要對其預測給出嚴格的邏輯證明才行。本例中不考慮沒有老虎的情況，即囚犯已知必有1老虎。作為囚犯，他在每次打開一個門前都會進行邏輯推理，如果能推出老虎是在即將打開的門裡就贏了，如果不能推出，他就只能打開這個門，如果打開後沒有老虎就繼續推理下一個門是否有老虎，依此類推。
* 然後，把問題從5個門簡化為只有2個門，囚犯會在打開第一個門之前，對第一個門裡是否有老虎做邏輯推理：由於囚犯要引用國王的思路，故須先考慮國王思路是否是會錯。
o 如果相信國王是不會錯的，那麼你不可能推測出第一個門裡有沒有，因為如果推測出就說明國王會錯，所以在這個前提下不可能知道。 囚犯無法推測出第一個門裡有沒有老虎，必然要打開第一個門。
o 如果相信國王是會錯的：

囚犯首先認為國王放第二個門是錯的，但國王既然是會錯的，他為何不會按囚犯認為錯誤的思路放第二個門呢？所以國王的思路就沒法唯一的推測了。囚犯失去國王的思路做論據，無法推測出第一個門裡有沒有老虎，必然要打開第一個門。

*
o 因此國王應且只應放到第一個門中，則國王必勝。
* 推廣到n個門的情況，只要只要國王不把老虎放到最後一個門，則國王必勝，囚犯必敗。

主張錯在第二步

* 故事中的囚犯最後決定相信「沒有老虎」。但，國王並不知道囚犯是否會這樣，所以的確不可能把老虎放在第五扇門。如果囚犯決定相信「一定有老虎」，那麼在前四扇門都沒有老虎之後，第五扇門後的老虎的確就變成「可預料的」了。
* 既然老虎在第五扇門的話，牠一定是「可預料的」，那麼當你已經開了三扇空門時，情況是怎麼樣？我們可以試著寫成邏輯式子：前提一、老虎不可預料。前提二、老虎如果在第五扇門時，可預料。前提三、老虎不在第五扇門時，就一定在第四扇門。前提四、老虎如果在第四扇門時，可預料。結論：前提互相矛盾。
* 請注意：這時的邏輯推理中，既然前提互相矛盾，必定有一個以上不成立，那麼可能性就是以下四個其中之一、或是更多：

1.
* 一、老虎可預料。
* 二、老虎如果在第五扇門時，不可預料。
* 三、老虎不在第五扇門時，也不一定在第四扇門。
* 四、老虎如果在第四扇門時，不可預料。

二和四自身是矛盾命題，不考慮，三會導致老虎變成薛定諤的貓，也就是既存在亦非存在的狀態（囚犯把老虎往前門推是錯誤的，因為前提中包含「已經開了三扇空門」）。所以可能性只有一個：老虎可預料。但若老虎可預料，那麼顯示國王說謊，如果國王可能說謊，那麼老虎也真的有可能消失。

* 這時的正確結論是：國王一定說謊，但他的謊言可能是「老虎可預料」，卻也可能是「根本沒老虎」，囚犯只是偏心於一個可能性，結果幫國王圓謊罷了。

主張錯在最後一步

* 如果「不可預料」並不是一種保證，而只意味「高機率」，「有老虎」才是保證，那麼情況又整個改觀。可以列成以下狀況：
* 如果囚犯連猜五次「老虎不在」，則不可預料率100%，當然是最糟的狀況。
* 如果囚犯連猜五次「老虎在」，這時應將不可預料率一樣視為100%。假設國王隨便放，因為平均猜錯次數是兩次，亦即猜錯一次要加不可預料率50%才公平。
* 假設國王隨便放，這時囚犯採用的策略，以：

1.
* 先兩次不猜，再連續猜老虎在：成功率0、0、100、50、0，平均30最高分
* 先三次不猜，再連續猜老虎在：成功率0、0、0、100、50，平均也是30最高分
* 但以上兩種高分解，前兩扇門都是安全門，必須混合下列解答靈活運用
* 如果第一次就猜老虎在：成功率100、-50、-50、50、0，平均只有10分
* 如果第二次就猜老虎在：成功率0、100、50、0、-50，平均也有20分
* 為了便於計算，假設這四種策略囚犯都平均運用，綜合以上，老虎放在不同門的平均不可預料率，75%、87.5%、75%、50%、100%

* 很明顯了，這時國王的對應策略，如果把老虎放在失分最低的第五扇門，可能被囚犯豪賭賭中，所以把老虎放在失分次低的第二扇門會是最佳選擇，只要把囚犯的猜中率壓在20%以下，都可以毫無愧色說是有很高的不可預料率。

他應該從「老虎不存在」這個矛盾的結論，導出國王所謂的「不可預料」其實是指機率，再從機率上推測國王到底把老虎放在第幾個門。

突擊測驗

老師宣布下星期一至星期五其中一日之中，會有一天舉行突擊測驗。學生認為根本不存在突擊測驗。若假設直到星期四還未舉行測驗，那麼星期五就會舉行，那就不算突擊，因此星期五不會舉行。若星期三還未舉行，而星期五又不會舉行，星期四就會舉行……如此類推，老師不可能進行突擊測驗。