阿羅悖論（Arrow Paradox）

阿羅悖論（Arrow Paradox）又稱作阿羅不可能定理（Arrow's impossible theorem），美國史丹福大學教授肯尼斯·阿羅的結論：

如果我們排除了人際效用的可比性，而且在一個相當廣的範圍內對任何個人偏好排序集合都有定義，那麼把個人偏好總合為社會偏好的最理想的方法，要麼是強加的，要麼是獨裁的。

不可能存在一種社會選擇機制，使個人偏好通過多數票規則轉換為成社會偏好。

命題

有 N 種選擇，有 m 個決策者，他們每個人都對這 N 個選擇有一個從優至劣的排序。我們要設計一種選舉法則，使得將這 m 個排序的信息匯總成一個新的排序，稱為投票結果。我們希望這種法則滿足以下條件：

* 一致性，或稱為帕累托效率。即如果所有的 m 個決策者都認為選擇 a 優於 b，那麼在投票結果中，a 也優於 b。
* 非獨裁。不存在一個決策者 X，使得投票結果總是等同於 X 的排序。
* 獨立於無關選項。如果現在一些決策者改了主意，但是在每個決策者的排序中，a 和 b 的相對位置不變，那麼在投票結果中 a 和 b 的相對位置也不變。

那麼，如果 N 大於 3，我們不可能設計出這種制度。

例子

例如，某日人們舉辦一個投票，這個投票問卷里只有一個問題，包含若干個選項，投票者根據自己的偏好給這幾個選項排序。人們希望滿足以下幾個條件：

* 投票的結果應該能表現出多個參加者的偏好，而不是某個人的偏好。
* 它應該能體現所有參加者的偏好，並且如果有２次投票所有人投的票相同，結果也一定相同。
* 如果人們改變了某２個選項的相對優先順序，那麼這變化不應該影響其他選項的相對優先順序。
* 如果一個人提高了某個選項的優先順序，那麼在結果中，這個選項的優先順序不能因此下降。
* 所有結果的排序都應該是可能達到的。

阿羅的結論是，如果有２個或以上的人參加投票，並且問題有３個或以上的選項，那麼以上的這些條件不可能同時滿足。