失蹤的正方形

失蹤的正方形謎題是一種用於數學課的視錯覺，有助於學生對幾何圖形的思考。它描述兩種面積板塊形狀組合，每個顯然的都構成一個13X5直角三角形，不過其中一個裡頭有個1x1的孔。

這謎題的關鍵是實際上兩個13x5的多邊形並不是三角形，目測不容易察覺到紅色和藍色三角形斜邊的斜率有差別。 因此誤以為兩個組合成的圖形都是三角形。

四個圖形（黃色、紅色、藍色和綠色圖形）總共佔32個單位面積，但是外面總三角形是寬13高5，合計32.5單位。藍色三角形長寬比為5:2，紅色三角則是8:3，並且這些不是同一個長寬比。因此在每個圖中外觀上加成後的斜邊實際上縮短了。

總共縮短的長度大約是一單位的28分之一，這在此謎題示例圖上很難以看出。注意在藍色紅色斜邊交界處的網格點，如果將它與另一張圖的對應交界點比 較，邊緣稍稍溢出或者低於格點。來自兩張圖重疊後溢出的斜邊導致一個非常細微的平行四邊形，佔據了剛好一格大小的面積，恰洽是第二張圖「消失」的區域。

根據美國業餘數學大師馬丁·加德納指出，本謎題是在1953年是由紐約市業餘魔術師保羅·嘉理（Paul Curry）發明的。不過裁切悖論的原理自從1860年代就已為數學家所知了。

謎題裡描述組成圖形的整數域（2， 3， 5， 8， 13）是連續的斐波那契數。 許多其他幾何裁切謎題皆根據著名斐波那契數列的許多簡單的特質。

本謎題另類且較簡單的版本（在動畫裡顯示）使用四個相等的四邊形以及一個小正方形，則組成一個較大的正方形。當四邊形繞著其中心旋轉，中間的小正方形將被填滿，即使該圖的總面積看起來沒有變動。這外表上的悖論可由新形成的方形四邊較原來的小了一點。如果 a 代表大正方形的四邊和，且 θ 是每個四邊形相對邊間的夾角，那兩個旋轉前旋轉後方塊面積間相除的商結果是 sec²θ − 1。對於 θ = 5°，結果大約是 1.00765，故對應的差異大約 0.8%。

老虎悖論

故事

國王要處決一個囚犯，但給他一個生還的機會。囚犯被帶到5扇緊閉的門前，其中一扇後面關著一隻老虎。國王對囚犯說：「你必須依次打開這些門。我可以肯定的是，在你沒有打開關著老虎的那扇門之前，你是無法知道老虎是在那扇門後。」顯然，如果囚犯有可能在打開有老虎的那扇門前知道，就證明國王在撒謊，那麼就可以活命。 開門之前，囚犯進行了如下分析：假如老虎在第五扇門，那當他把前四扇門打開後都沒發現老虎，那他肯定猜到老虎在第五扇門中，因國王說過不論何時他也料不到老虎在哪扇門後，那國王的說話就錯了。因此，老虎肯定不在第五扇門中。同樣道理，老虎也不在第四道門中，否則囚犯打開三道門後，只剩兩道門，老虎既不在第五扇門後，那就會給他料到在第四扇門後；依次類推，老虎不存在任何一道門後；囚犯這時就不再多想，冒冒失失依次推門，結果老虎從第二扇門中跳了出來，把囚犯咬死了。國王看見了說：「不是跟你說了老虎在哪扇門後總是出乎你的意料了嗎？現在你就是萬料不到了。」

悖論分析

如果囚犯的推理成立，那麼就算國王把老虎放在第五扇門後，也是「料想不到」，學者們爭論的重點在於：這個推理究竟錯在第幾步？

主張錯在第一步

* 如果第一步是正確的，那麼後面幾步為什麼是錯的？所以第一步就錯了。錯在囚犯把國王的思路作為論據。
* 首先必須定義怎樣算國王所謂的「知道」(或「意料」)，如果投機猜測算的話，那國王不論怎樣放都不能保證不被猜中，所以帶投機成分的猜測不能算「知道」（國王為了自身利益也會這麼定義），設「知道」定義為「在即有事實下的邏輯推理」，那麼囚犯不僅要正確預測老虎，還要對其預測給出嚴格的邏輯證明才行。本例中不考慮沒有老虎的情況，即囚犯已知必有1老虎。作為囚犯，他在每次打開一個門前都會進行邏輯推理，如果能推出老虎是在即將打開的門裡就贏了，如果不能推出，他就只能打開這個門，如果打開後沒有老虎就繼續推理下一個門是否有老虎，依此類推。
* 然後，把問題從5個門簡化為只有2個門，囚犯會在打開第一個門之前，對第一個門裡是否有老虎做邏輯推理：由於囚犯要引用國王的思路，故須先考慮國王思路是否是會錯。
o 如果相信國王是不會錯的，那麼你不可能推測出第一個門裡有沒有，因為如果推測出就說明國王會錯，所以在這個前提下不可能知道。 囚犯無法推測出第一個門裡有沒有老虎，必然要打開第一個門。
o 如果相信國王是會錯的：

囚犯首先認為國王放第二個門是錯的，但國王既然是會錯的，他為何不會按囚犯認為錯誤的思路放第二個門呢？所以國王的思路就沒法唯一的推測了。囚犯失去國王的思路做論據，無法推測出第一個門裡有沒有老虎，必然要打開第一個門。

*
o 因此國王應且只應放到第一個門中，則國王必勝。
* 推廣到n個門的情況，只要只要國王不把老虎放到最後一個門，則國王必勝，囚犯必敗。

主張錯在第二步

* 故事中的囚犯最後決定相信「沒有老虎」。但，國王並不知道囚犯是否會這樣，所以的確不可能把老虎放在第五扇門。如果囚犯決定相信「一定有老虎」，那麼在前四扇門都沒有老虎之後，第五扇門後的老虎的確就變成「可預料的」了。
* 既然老虎在第五扇門的話，牠一定是「可預料的」，那麼當你已經開了三扇空門時，情況是怎麼樣？我們可以試著寫成邏輯式子：前提一、老虎不可預料。前提二、老虎如果在第五扇門時，可預料。前提三、老虎不在第五扇門時，就一定在第四扇門。前提四、老虎如果在第四扇門時，可預料。結論：前提互相矛盾。
* 請注意：這時的邏輯推理中，既然前提互相矛盾，必定有一個以上不成立，那麼可能性就是以下四個其中之一、或是更多：

1.
* 一、老虎可預料。
* 二、老虎如果在第五扇門時，不可預料。
* 三、老虎不在第五扇門時，也不一定在第四扇門。
* 四、老虎如果在第四扇門時，不可預料。

二和四自身是矛盾命題，不考慮，三會導致老虎變成薛定諤的貓，也就是既存在亦非存在的狀態（囚犯把老虎往前門推是錯誤的，因為前提中包含「已經開了三扇空門」）。所以可能性只有一個：老虎可預料。但若老虎可預料，那麼顯示國王說謊，如果國王可能說謊，那麼老虎也真的有可能消失。

* 這時的正確結論是：國王一定說謊，但他的謊言可能是「老虎可預料」，卻也可能是「根本沒老虎」，囚犯只是偏心於一個可能性，結果幫國王圓謊罷了。

主張錯在最後一步

* 如果「不可預料」並不是一種保證，而只意味「高機率」，「有老虎」才是保證，那麼情況又整個改觀。可以列成以下狀況：
* 如果囚犯連猜五次「老虎不在」，則不可預料率100%，當然是最糟的狀況。
* 如果囚犯連猜五次「老虎在」，這時應將不可預料率一樣視為100%。假設國王隨便放，因為平均猜錯次數是兩次，亦即猜錯一次要加不可預料率50%才公平。
* 假設國王隨便放，這時囚犯採用的策略，以：

1.
* 先兩次不猜，再連續猜老虎在：成功率0、0、100、50、0，平均30最高分
* 先三次不猜，再連續猜老虎在：成功率0、0、0、100、50，平均也是30最高分
* 但以上兩種高分解，前兩扇門都是安全門，必須混合下列解答靈活運用
* 如果第一次就猜老虎在：成功率100、-50、-50、50、0，平均只有10分
* 如果第二次就猜老虎在：成功率0、100、50、0、-50，平均也有20分
* 為了便於計算，假設這四種策略囚犯都平均運用，綜合以上，老虎放在不同門的平均不可預料率，75%、87.5%、75%、50%、100%

* 很明顯了，這時國王的對應策略，如果把老虎放在失分最低的第五扇門，可能被囚犯豪賭賭中，所以把老虎放在失分次低的第二扇門會是最佳選擇，只要把囚犯的猜中率壓在20%以下，都可以毫無愧色說是有很高的不可預料率。

他應該從「老虎不存在」這個矛盾的結論，導出國王所謂的「不可預料」其實是指機率，再從機率上推測國王到底把老虎放在第幾個門。

突擊測驗

老師宣布下星期一至星期五其中一日之中，會有一天舉行突擊測驗。學生認為根本不存在突擊測驗。若假設直到星期四還未舉行測驗，那麼星期五就會舉行，那就不算突擊，因此星期五不會舉行。若星期三還未舉行，而星期五又不會舉行，星期四就會舉行……如此類推，老師不可能進行突擊測驗。

奶油貓悖論（Buttered cat paradox）

奶油貓悖論（英文：Buttered cat paradox），是把兩種趣談組合而成的惡搞悖論，該常識為：

* 貓在半空中跳下，永遠用腳著陸。
* 把奶油吐司拋到半空中，吐司永遠在塗上‎奶油的一面落地。

這個悖論出在，你把奶油吐司沒有塗上奶油的一面黏著貓的背部之時。依照以上兩條定律，貓無法用腳著陸，因為奶油吐司永遠在塗上奶油的一面落地；但同樣的，奶油吐司塗上奶油的一面無法落地，因為貓永遠用腳著陸。

思想實驗

這個悖論是由兩種民間智慧組合而成的玩笑式悖論，亦是一個有趣的思想實驗。我們確定兩條定律「貓永遠用腳著陸」；「奶油吐司永遠在塗上奶油的一面落地」皆是真確和有證據證明的。那麼，把奶油吐司沒有塗上奶油的一面黏著貓的背部（下文簡稱奶油貓）之時，會發生什麼反應呢？

某些人打趣地表示，奶油貓實驗將導致一個反地心引力的作用。他們猜測，奶油貓在半空落地之時，它將漸漸減速和轉動，最終到達一種恆穩狀態，與地面浮著一個短的距離高速轉動，使得吐司沒有塗上奶油的一面和貓背無法接觸地面。[1]

這種解釋十分詼諧，如果我們假設兩種定律都是正確的話，什麼事情都能發生。然而，依照以上解釋，必須有某一種能量維持奶油貓的恆穩狀態，否則它會違反能量守恆定律。不過，亦有很多方法使奶油貓得到能量，例如轉動時，奶油貓能在摩擦空氣得出熱量、或從陽光，轉換它成直接動能。雖然很艱苦證明這點，但並非不可能。

其他實驗結果是，貓用腳著陸，但立即反轉。然而這結果意味貓的腳比吐司塗上奶油的一面對地心引力更有吸引力，但同一實驗，吐司塗上奶油的一面曾經擊敗貓腳。這取決於最初實驗開始的參量，到底是貓的腳或吐司塗上奶油的一面對地心引力更有吸引力？兩者都是正確的，另一種實驗結果是，吐司首先著地（意味著貓實際上未落地，吐司照樣在貓的背面），然後貓用腳打滾。

阿羅悖論（Arrow Paradox）

阿羅悖論（Arrow Paradox）又稱作阿羅不可能定理（Arrow's impossible theorem），美國史丹福大學教授肯尼斯·阿羅的結論：

如果我們排除了人際效用的可比性，而且在一個相當廣的範圍內對任何個人偏好排序集合都有定義，那麼把個人偏好總合為社會偏好的最理想的方法，要麼是強加的，要麼是獨裁的。

不可能存在一種社會選擇機制，使個人偏好通過多數票規則轉換為成社會偏好。

命題

有 N 種選擇，有 m 個決策者，他們每個人都對這 N 個選擇有一個從優至劣的排序。我們要設計一種選舉法則，使得將這 m 個排序的信息匯總成一個新的排序，稱為投票結果。我們希望這種法則滿足以下條件：

* 一致性，或稱為帕累托效率。即如果所有的 m 個決策者都認為選擇 a 優於 b，那麼在投票結果中，a 也優於 b。
* 非獨裁。不存在一個決策者 X，使得投票結果總是等同於 X 的排序。
* 獨立於無關選項。如果現在一些決策者改了主意，但是在每個決策者的排序中，a 和 b 的相對位置不變，那麼在投票結果中 a 和 b 的相對位置也不變。

那麼，如果 N 大於 3，我們不可能設計出這種制度。

例子

例如，某日人們舉辦一個投票，這個投票問卷里只有一個問題，包含若干個選項，投票者根據自己的偏好給這幾個選項排序。人們希望滿足以下幾個條件：

* 投票的結果應該能表現出多個參加者的偏好，而不是某個人的偏好。
* 它應該能體現所有參加者的偏好，並且如果有２次投票所有人投的票相同，結果也一定相同。
* 如果人們改變了某２個選項的相對優先順序，那麼這變化不應該影響其他選項的相對優先順序。
* 如果一個人提高了某個選項的優先順序，那麼在結果中，這個選項的優先順序不能因此下降。
* 所有結果的排序都應該是可能達到的。

阿羅的結論是，如果有２個或以上的人參加投票，並且問題有３個或以上的選項，那麼以上的這些條件不可能同時滿足。

生日悖論

生日悖論是指，如果一個房間裡有23個或23個以上的人，那麼至少有兩個人的生日相同的機率要大於50%。這就意味著在一個典型的標準小學班級(30人)中，存在兩人生日相同的可能性更高。對於60或者更多的人，這種機率要大於99%。從引起邏輯矛盾的角度來說生日悖論並不是一種悖論，從這個數學事實與一般直覺相抵觸的意義上，它才稱得上是一個悖論。大多數人會認為，23人中有2人生日相同的機率應該遠遠小於50%。計算與此相關的機率被稱為生日問題， 在這個問題之後的數學理論已被用於設計著名的密碼攻擊方法：生日攻擊。

對此悖論的解釋

理解生日悖論的關鍵在於領會相同生日的搭配可以是相當多的。如在前面所提到的例子，23個人可以產生C(23,2)= 23 × 22/2 = 253 種不同的搭配，而這每一種搭配都有成功相等的可能。從這樣的角度看，在253種搭配中產生一對成功的配對也並不是那樣的不可思議。

換一個角度，如果你進入了一個有著22個人的房間，房間裡的人中會和你有相同生日的機率便不是五十五十了，而是變得非常低。原因是這時候只能產生22種不同的搭配。生日問題實際上是在問任何23個人中會有兩人生日相同的機率是多少。

應用

生日悖論普遍的應用於檢測哈希函數:N-位長度的哈希表可能發生碰撞測試次數不是2N次而是只有2N/2次。這一結論被應用到破解密碼學散列函數的生日攻擊中。

生日問題所隱含的理論已經在[Schnabel 1938]名字叫做capture-recapture的統計試驗得到應用，來估計湖裡魚的數量。

近似匹配

此問題另外一個范化就是求得要在隨機選取多少人中才能找到2個人生日相同，相差1天，2天等的機率大於50％ 。這是個更難的問題需要用到容斥原理。結果(假設生日依然按照平均分佈)正像在標準生日問題中那樣令人吃驚:

2人生日相差k天	#需要的人數
0	23
1	14
2	11
3	9
4	8
5	7
7	6

只需要隨機抽取6個人，找到兩個人生日相差一周以內的機率就會超過50%。

辛普森悖論

當人們嘗試探究兩種變數是否具有相關性的時候，比如新生錄取率與性別，報酬與性別等，會分別對之進行分組研究。辛普森悖論是在這種研究中，在某些前提下有時會產生的一種現象。即在分組比較中都佔優勢的一方，會在總評中反而是失勢的一方。該現象於20世紀初就有人討論，但一直到1951年E.H.辛普森在他發表的論文中，該現象才算正式被描述解釋。後來就以他的名字命名該悖論。

請看下面的例子

一所美國高校的兩個學院，分別是法學院和商學院，新學期招生。人們懷疑這兩個學院有性別歧視。現作如下統計：

法學院

性別	錄取	拒收	總數	錄取比例
男生	8	45	53	15.1%
女生	51	101	152	33.6%
合計	59	146	205

商學院

性別	錄取	拒收	總數	錄取比例
男生	201	50	251	80.1%
女生	92	9	101	91.1%
合計	293	59	352

根據上面兩個表格來看，女生在兩個學院都被優先錄取。即女生的錄取比率較高。現在將兩學院的數據匯總：

性別	錄取	拒收	總數	錄取比例
男生	209	95	304	68.8%
女生	143	110	253	56.5%
合計	352	205	557

在總評中，女生的錄取比率反而比男生低。

薛丁格的貓

薛丁格的貓是奧地利物理學家埃爾溫·薛丁格試圖證明量子力學在巨觀條件下的不完備性而提出的一個思想實驗。實驗內容如下：

把一隻貓放進一個封閉的盒子里，然後把這個盒子連接到一個包含一個放射性原子核和一個裝有有毒氣體的容器的實驗裝置。設想這個放射性原子核在一個小時內有50％的可能性發生衰變。如果發生衰變，它將會發射出一個粒子，而發射出的這個粒子將會觸發這個實驗裝置，打開裝有毒氣的容器，從而殺死這隻貓。根據量子力學，未進行觀察時，這個原子核處於已衰變和未衰變的疊加態，但是，如果在一個小時後把盒子打開，實驗者只能看到「衰變的原子核和死貓」或者「未衰變的原子核和活貓」兩種情況。
現在的問題是：這個系統從什麼時候開始不再處於兩種不同狀態的疊加態而成為其中的一種？在打開盒子觀察以前，這隻貓是死了還是活著抑或半死半活？這個實驗的原意是想說明，如果不能對波函數塌縮以及對這隻貓所處的狀態給出一個合理解釋的話，量子力學本身是不完備的。

這個思想實驗的意義是，將量子理論從微觀領域帶到了巨觀領域，而導出和一般常識相衝突的結果。根據哥本哈根學派的解釋，當觀察者未打開盒子之前，貓處於一種「又死又活」的狀態，該狀態可以用一個波函數來描述，而波函數可由薛丁格方程式解出。一旦觀察者打開盒子觀察，波函數會坍塌（Collapse），貓呈現在觀察者面前的只會是「生」或「死」的狀態之一。這導致了對世界客觀性和人意識的作用的討論。

根據多世界理論，當觀察者打開盒子的一刻，世界會分裂成多個世界，而觀察者只能進入眾多的世界其中的一個，而觀察結果就因此只有一個，貓是「生」或「死」。而在其他世界里貓的狀態會由薛丁格方程式決定。其生存的機率越大，貓倖存下來而處於其中的世界的數目就越多。

薛丁格可被視為一個佯謬，由「不確定」的衰變－檢測器－毒藥－貓的生死構成一條因果鏈，將量子的不確定與巨觀物質（貓的生死）的不確定性聯繫起來，而根據日常經驗，無論我們是否觀察，貓的狀態必為生或死中之一。

命定悖論

命定悖論或命運悖論（ Predestination paradox ，命運註定的悖論），又稱因果循環（ Causal loop 或 Causality loop ，與佛教的業德去返無關），是科幻作品中與時間旅行有關的悖論。

這悖論大致與祖父悖論相反：

如果自己返回過去，將自己的祖父殺死，那麼自己的父母就會不曾出現過，隨之而言就連自己的存在也消失，把自己從（這個平行宇宙分支的）時間洪流中「消去」。

命定悖論是其中一個去解釋「為何歷史事實不被時間旅行中所作出的改變而受影響」的方法，就是：

改變歷史的做法，不論企圖與否，最終都會引致歷史所「命定」的結果，而並非作出之外的改變。

（Novikov self-consistency principle）提出，只有事件屬前後一致的因果循環才能出現，矛盾的則不能。

祖父悖論

祖父悖論是一種時間旅行的悖論，科幻故事中常見的主題。最先由法國科幻小說作家赫內·巴赫札維勒(René Barjavel)在他1943年的小說《不小心的旅遊者》（Le Voyageur Imprudent）中提出。情景如下：

假設你回到過去，在自己父親出生前把自己的祖父母殺死；因為你祖父母死了，就不會有你的父親；沒有了你的父親，你就不會出生；你沒出生，就沒有人會把你祖父母殺死；若是沒有人把你的祖父母殺死，你就會存在並回到過去且把你的祖父母殺死，於是矛盾出現了。

平行宇宙

物理學家認為，也許世界是由無數個平行宇宙組成的，而當你回到過去殺你的祖父母時，你殺的其實是另一個宇宙的人（或者你的這個舉動也可以創造一個新的平行宇宙），而這個人（你的「祖父」或「祖母」）的死只會使那個平行宇宙的「你」不再存在，而這個平行宇宙的「你」則平安無事。

* 在量子物理中，「多個世界」理論可以如此理解：對於每一個似乎隨機的事件來說，只要它的可能性不是零，它所有可能的情形都會在不同的平行世界中發生，造成歷史的分支。物理學家大衛·多伊奇（David Deutsch)認為，當你回到過去去殺你的祖父母時，你其實進入了另一個世界，殺的是另一個世界的人。（那個世界與你的世界的差別僅在於你祖父母死了）
* M理論，作為至今最有可能結合5種不同的弦論的理論，是如此解釋平行宇宙的：多個三維的「膜」可以同時在一個四維的宇宙（不是愛因斯坦的三維空間加一維時間；見膜宇宙學）中存在；這些膜之間的撞擊會在膜中產生大量的能量——這也可以解釋大爆炸是如何起源的。可是，M理論並不能解釋不同膜的歷史之間的關係，也不能肯定，當你回到過去時，你會進到另一個膜裏面。

羅素悖論（Russell's paradox）

羅素悖論（Russell's paradox），也稱為理髮師悖論，是羅素於1901年提出的悖論，是一個關於類的內涵問題。

羅素悖論：設性質P(x)表示「x\not\in x」，現假設由性質P確定了一個類A——也就是說「A=\{x|x \not\in x\}」。那麼現在的問題是：A\in A是否成立？首先，若A\in A，則A是A的元素，那麼A具有性質P，由性質P知A\not\in A；其次，若A\not\in A，也就是說A具有性質P，而A是由所有具有性質P的類組成的，所以A\in A。

「理髮師悖論」悖論內容

一位理髮師說：「我只給不給自己刮臉的人刮臉。」那麼他是否給自己刮臉呢？如果他給的話，但按照他的話，他就不該給自己刮臉；如果他不給的話，但按照他的話，他就該給自己刮臉。於是矛盾出現了。

書目悖論

書目悖論與理髮師悖論基本一致。可以說是羅素悖論的另一種通俗表達形式。內容是：一個圖書館要編纂一本書，其內容是列出該圖書館里所有不列出自己書名的書的名字。那麼作為目錄的書該不該列出自己的書名？

布雷斯悖論

在一個交通網路上增加一條路段反而使網路上的旅行時間(travel time)增加了，而且是所有出行者的旅行時間都增加了，這一附加路段不但沒有減少交通延滯，反而降低了整個交通網路的服務水準(level of service)，這種出力不討好且與人們直觀感受相背的交通網路現象就是人們所說的Braess 悖論現象。

唐·吉訶德悖論

桑丘·潘薩在他治理的島上頒布一條法例，規定過橋的旅客必需誠實地表示自己的目的，否則就會被絞死。 有一個旅客在見到橋上的告示後，宣稱自己過橋是要被絞死的。

這使執法者感到為難：如果該人的言論為真，則他應被釋放，但如此一來其言論即變為假。如其言論為假，則他會被絞死，但如此一來其言論即變為真。該旅客被帶到桑丘面前，而桑丘最後把他釋放。

謊言者悖論

謊言者悖論最常見的例子是「我在說謊」這個句子。因若我所說是真（「我在說謊」），那我就不是在說謊；但若我所說是假（「我不在說謊」），那麼我就是在說謊了。所以無論這句子是真或不真，情況都不可能成立。

起源

西元前6世紀，克利特哲學家埃庇米尼得斯（Epimenides）說了一句很有名的話：「所有克利特人都說謊。」

嚴格來說埃庇米尼得斯這句話並不能算是悖論，因為這句話一定是錯的。如果埃庇米尼得斯所言為真，那麼克利特人就全都是說謊者，身為克利特人之一的埃庇米尼得斯自然也不例外，於是他所說的這句話應為謊言，但這跟先前假設此言為真相矛盾；假設此言為假，那麼也就是說有部分克利特人是不說謊的，則表示埃庇米尼得斯說謊，仍符合假設(即埃庇米尼得斯屬於克利特島的人中說謊的部分)。因此，這句話一定是錯的。

聖彼得堡悖論

聖彼得堡悖論是決策論中的一個悖論。

1730年代，數學家丹尼爾·伯努利（Daniel Bernoulli）的表兄尼古拉·伯努利提出一個謎題：擲硬幣，若第一次擲出正面，你就賺1元。若第一次擲出反面，那就要再擲一次，若第二次擲的是正面，你便賺2元。若第二次擲出反面，那就要擲第三次，若第三次擲的是正面，你便賺2*2元...如此類推，即可能擲一次遊戲便結束，也可能反覆擲沒完沒了。問題是，你最多肯付多少錢參加這個遊戲？

這個遊戲的期望值是無限大，即你最多肯付出無限的金錢去參加這個遊戲。但是，你更可能只賺到1元，或者2元，或者4元……那你為什麼肯付出無限的金錢參加遊戲呢？

實驗的論文解釋

丹尼爾·伯努利對這個悖論的解答在1738年的論文里，提出了效用的概念以挑戰以金額期望值為決策標準，論文主要包括兩條原理：

1. 邊際效用遞減原理：一個人對於財富的佔有多多益善，即效用函數一階導數大於零；隨著財富的增加，滿足程度的增加速度不斷下降，效用函數二階導數小於零。
2. 最大效用原理：在風險和不確定條件下，個人的決策行為準則是為了獲得最大期望效用值而非最大期望金額值。

艾爾斯伯格悖論

艾爾斯伯格悖論是決策論中的一個悖論。

1961年丹尼爾·艾爾斯伯格（Daniel Ellsberg）進行了如下實驗：

一個罐中有90個球，已知其中有30個紅球，其餘的60個要麼是黑球，要麼是黃球。現從中隨機抽取一個，並設計4個賭局如下：

賭局A：若是紅球，參賭人得到100元；若是其它顏色得到0元。

賭局B：若是黑球，參賭人得到100元；若是其它顏色得到0元。

賭局C：若是黑球，參賭人得到0元；若是其它顏色得到100元。

賭局D：若是紅球，參賭人得到0元；若是其它顏色得到100元。

實驗調查結果發現多數人在A、B之間選擇A而非B；在C、D之間選擇D而非C。

實驗結論

實驗結論即艾爾斯伯格悖論，它表明人是模糊厭惡（Ambiguity averse）的，即，不喜歡他們對某一博弈的機率分佈不清楚，也即，人在冒險時喜歡用已知的機率作根據，而非未知的機率。人在決策是否參賭一個不確定事件的時候，除了事件的機率之外，也考慮到它的來源。

錢包遊戲

錢包悖論，又稱錢包遊戲，是機率論中的一個悖論。

內容

A和B兩人進行一場賭博。

賭法是：由第三者計算A、B二君錢包裏面的錢，錢少者可以贏走錢多者的錢。

A對於這場賭博的想法為：若B君的錢比我少，我可能輸掉我現有的錢。但若B君的錢比我多，我贏了，就會得到多於我現有的錢。我能夠贏的錢比輸的錢多，所以這場賭博對我有利。

而B的想法也是如此。

二人想法的邏輯都正確，但若認為二人的想法都正確，又將做出這場賭博對A、B二人都有利的錯誤結論。這顯然是一個悖論。

來源

錢包悖論源自法國數學家莫里斯·克萊特契克，在他的《數學消遣》書中賭的是領帶而非錢.

「有兩個人都聲稱他的領帶好一些。他們叫來了第三個人，讓他作出裁決到底誰的好。勝者必須拿出他的領帶給敗者作為安慰。兩個爭執者都這樣想：我知道我的領帶值多少。我也許會失去它，可是我也可能贏得一條更好的領帶，所以這種比賽是對我有利。一個比賽怎麼會對雙方都有利呢？」

分析

克萊特契克的分析

克萊特契克在他的書中指明必須限制條件，這才是一場公平的遊戲，例如A，B二人對對方穿領帶的習慣一無所知等。

他還假定每一個比賽者帶有從0到任意數量（比如說一百元）的錢。以此假定構成兩人錢數的矩陣，就可看出這個此賽是「對稱的」，不會偏向任何一方。

但他沒有指出兩個比賽者的想法錯在哪裡。

考慮勝算

其實問題就在A，B二人只以「可以贏更多的錢」這點，就做出這場賭博對自己有利的結論，當然是錯誤的。顯然是缺乏思考，對客觀事物的複雜程度缺乏認識，才會做出如此樂觀的結論。

這場賭博對誰有利的考慮誰可以贏得這場賭博。而不是以「可以贏更多的錢」來判斷。

若以誰有勝算來判斷，必須注意二點：

1. 必須計算期望值。
2. 「錢包里有多少錢」是很隨機的。無法有一定的標準。難以論定這場賭博的勝負，但若將「所有人類的錢包里的錢」相加後除以全人類數目，還是可以得出一個平均值。

若錢包里的錢比平均值小，那勝算比較大，反之較小。各國家，各地區人的錢包里的平均值都不一樣，全人類太廣泛，以國家，地區來分更加有勝算。

但就算是費很大力氣來得到這平均值，還是很難確定有勝算的。由此可見A，B二人認為這場賭博對自己有利的結論是做得多麼輕易，缺乏思考。

其實最有勝算的方法是知道對方的錢包里有多少錢。

另一種分析

錢包只有二個，所以錢包里的錢只存在二個數：

X,Y，設X>Y。

A有1/2機會是X，1/2機會是Y；B也如是。

如果A的錢是Y，則贏得X；如果A的錢是X，則輸掉X；B也如是。

結論：1/2機會贏，1/2機會輸。

而A,B想法的問題出在，他們假設了3個數：

設A有X元，B有Y,(YX)。

但實際上只存在2個數，所以這是錯誤的論證，推理出錯誤的結論。

現實例子

最常見的就是在賭博時，期待「如果贏的話、會贏得比輸得更多」。例如玩吃角子老虎機時認為「就算只中櫻桃，也是翻五倍！」但問題在於：會中嗎？

遊行隊伍悖論

首先假設在操場上，在一瞬間（一個最小時間單位）裡，相對於觀眾席A，列隊B、C將分別各向右和左移動一個距離單位。

　□□□□ 觀眾席A
　■■■■ 　列隊B・・・向右移動（→）
　▲▲▲▲ 　列隊C・・・向左移動（←）

B、C兩個列隊開始移動，如下圖所示相對於觀眾席A，B和C分別向右和左各移動了一個距離單位。

　□□□□
　　■■■■
▲▲▲▲

而此時，對B而言C移動了兩個距離單位。也就是，隊列既可以在一瞬間（一個最小時間單位）里移動一個距離單位，也可以在半個最小時間單位里移動一個距離單位，這就產生了半個時間單位等於一個時間單位的矛盾。因此隊列是移動不了的。

飛矢不動

飛矢不動悖論是古希臘數學家芝諾(Zeno of Elea)提出的一系列關於運動的不可分性的哲學悖論中的一個。人們通常把這些悖論稱為芝諾悖論。

芝諾提出，由於箭在其飛行過程中的任何瞬間都有一個暫時的位置，所以它在這個位置上和不動沒有什麼區別。中國古代的名家惠施也提出過，「飛鳥之景，未嘗動也」的類似說法。


芝諾問他的學生：「一支射出的箭是動的還是不動的？」

「那還用說，當然是動的。」

「確實是這樣，在每個人的眼裡它都是動的。可是，這支箭在每一個瞬間里都有它的位置嗎？」

「有的，老師。」

「在這一瞬間里，它佔據的空間和它的體積一樣嗎？」

「有確定的位置，又佔據著和自身體積一樣大小的空間。」

「那麼，在這一瞬間里，這支箭是動的，還是不動的？」

「不動的，老師」

「這一瞬間是不動的，那麼其他瞬間呢？」

「也是不動的，老師」

「所以，射出去的箭是不動的？」

運動場問題（The dichotomy paradox）

運動場問題（英文：The dichotomy paradox）是芝諾（Zeno）提出的四個悖論中的第一個，又稱為兩分法悖論。

其實四大悖論的關鍵就是人們沒有了解自然界的一個重要概念——「率」的概念。討論任何「變化」的問題的時候，忽略了變化發生的時候，另一個條件也在同時變化。例如討論距離的變化的時候，如果你只考慮長度的變化，而忽略了在長度變化時另一個條件「時間」必定也在變化。這就是速率。在速度變化時，有了加速度的概念。加速度變化時，照樣可以用加速度變化的多少和時間變化的多少來表示。

哲學是認識世界的方法和理論。雖然我們一旦發現了率的概念，立刻就可以破解所謂「單一條件變化悖論」，但是悖論的意義就在於激發人們尋找世界真像的好奇心。

在這4大經典悖論中，我們發現世界的變化並不是單一條件獨立變化的，而是多條件同時變化的，這是事實。我們可以用距離除以時間來定義速度，但是速度本身是現實的獨立的存在，而不依靠距離和時間。利用距離和時間來表示，僅僅是人們用自己能夠感知的概念來表示難以感知和表示的事務罷了。比如我們天天坐汽車，但是我們難以直接感知汽車加速度的變化。但是簡單的公式就可以表明這個變化了。

悖論的內容

因為一運動物體在到達目的地之前，必須先抵達距離目的地之一半的位置。即：若要從A處到達B處，必須先到AB中點C，要到達C，又須先到達AC的中點D。如此繼續劃分下去，所謂的「一半距離」數值將越來越小。最後「一半距離」幾乎可被視為零。

這就形成了此一物體若要從A移動到B，必須先停留在A的悖論。這樣一來，此物體將永遠停留在初始位置（或者說物體初始運動所經過的距離近似0），以至這物體的運動幾乎不能開始。因此，我們得出了運動不可能開始的結論。

見《莊子·天下篇》，莊子提出：「一尺之捶，日取其半，萬世不竭。」

悖論的解釋

其實此悖論的解釋如下：

此悖論在設立時有意忽略了一個事實：那就是從A到B的「運動」必須是一個時間相關的概念而不僅僅是距離的概念。也就是說如果運動的速度為0的時候這個悖論為真！但是一旦運動起來，必然有一個速度，速度等於經過的距離除以歷經的時間。什麼時候速度為0呢？一種情況是距離為0，根本沒有要動，另一種情況大家一般會忽略掉，就是經歷的時間趨近於無限，不論距離多大，只要是一個固定值，那麼速度就是0，於是悖論就成立了。

此悖論雖然沒有提及時間，但是卻故意掩蓋了時間這個因素。

這同最小分割無關，因為在數學上，無限分割是成立的。

阿萊悖論（Allais Paradox）

1952年，法國經濟學家、諾貝爾經濟學獎獲得者阿萊作了一個著名的實驗：

對100人測試所設計的賭局：

* 賭局A：100％的機會得到100萬元。
* 賭局B：10％的機會得到500萬元，89％的機會得到100萬元，1％的機會什麼也得不到。

實驗結果：絕大多數人選擇A而不是B。即賭局A的期望值（100萬元）雖然小於賭局B的期望值（139萬元），但是A的效用值大於B的效用值，即1.00U(1m) > 0.89U(1m) + 0.01U(0) + 0.1U(5m)。【1】

然後阿萊使用新賭局對這些人繼續進行測試，

* 賭局C：11％的機會得到100萬元，89％的機會什麼也得不到。
* 賭局D：10％的機會得到500萬元，90％的機會什麼也得不到。

實驗結果：絕大多數人選擇D而非C。即賭局C的期望值（11萬元）小於賭局D的期望值（50萬元），而且C的效用值也小於D的效用值，即0.89U(0) + 0.11U(1m) <>